Berechnung der Stichprobengröße: technische Details einfach erklärt

Wie viele Probanden sind genug? Diese Frage stellt sich jeder, der eine Umfrage plant. Zum Glück hat die Wissenschaft darauf eine Antwort. In diesem Artikel erläutern wir, wie der notwendige Umfang der Stichprobe ermittelt wird — und wie Sie die Stichprobengröße selbst berechnen können.

Kurz gesagt: Wenn Sie einen Anteil schätzen möchten und keinen Vorwert kennen, rechnen Sie mit π = 0,5. Bei 95 % Konfidenzniveau und ±5 Prozentpunkten Fehlerspanne brauchen Sie für eine große Grundgesamtheit 385 auswertbare Antworten (n = z² · π · (1 − π) / E² ≈ 384,2, aufgerundet 385). Bei kleinen Grundgesamtheiten reichen weniger, bei 100 Personen zum Beispiel 80. Gemeint sind Antworten, nicht Einladungen. Die Rechnung setzt eine einfache Zufallsauswahl voraus, bei der jede Person höchstens einmal ausgewählt wird.

Stichprobenrechner von QUESTIONSTAR

Rechnen Sie es gleich für Ihre Umfrage aus. Wie der Rechner rechnet und wann Sie die Werte anpassen sollten, erkläre ich weiter unten.

Der Rechner ist frei zugänglich, ohne Registrierung und ohne Datenspeicherung. Sie können ihn beliebig oft verwenden — auch für fremde Projekte.

Wenn Sie an den technischen Details nicht interessiert sind und den Umfang der Stichprobe schnell berechnen wollen, nutzen Sie den Stichprobenrechner von QUESTIONSTAR.

Was ist eine repräsentative Stichprobe?

Wenn wir in einer Umfrage Meinungen, Einstellungen oder Informationen zu Verhaltensweisen abfragen, möchten wir in aller Regel feststellen, wie weit diese in der Gruppe der Menschen verbreitet sind, die uns interessieren.

Das können bestehende oder potenzielle Kunden eines Unternehmens sein, seine Mitarbeiter, die Einwohner einer bestimmten Stadt vor der Bürgermeisterwahl oder die gesamte Bevölkerung eines Landes.

Die Gesamtheit dieser Menschen, deren Meinung uns interessiert, nennt man Grundgesamtheit.

In den meisten Fällen ist es unpraktikabel, jeden zu der Grundgesamtheit gehörenden Menschen zu befragen. Abgesehen davon, dass wir nur in den seltensten Fällen jeden Einzelnen kontaktieren und um Teilnahme bitten können, wäre eine solche Vollerhebung schlicht zu teuer und zu langsam.

Deshalb setzte sich die Wissenschaft mit der Frage auseinander, ob und inwiefern es möglich ist, nur einige wenige Menschen aus der Grundgesamtheit zu befragen — und trotzdem Antworten zu bekommen, die für die Grundgesamtheit charakteristisch, also repräsentativ sind.

Diese Teilmenge nennt man Stichprobe. Analog zum Bäcker, der das Brot an verschiedenen Stellen durchsticht, um festzustellen, ob es gleichmäßig gebacken ist, „stechen“ Statistiker in verschiedene Teile der Grundgesamtheit ein, um festzustellen, ob die Menschen darin ähnlich „gebacken“ sind.

Die Antwort der Statistik auf diese Frage war ein klares Jain.

Nein — weil es unmöglich ist, anhand einer Stichprobe auf genau dieselbe Antwort zu kommen wie bei der Befragung der kompletten Grundgesamtheit.

Ja — weil sich mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung einschätzen lässt, wie stark der echte Wert (z. B. Durchschnittseinkommen oder Anteil derjenigen, die Produkt X präferieren) in der Grundgesamtheit von dem in der Stichprobe ermittelten Wert abweichen kann. Mit anderen Worten: Es lässt sich ein Intervall berechnen, das den echten Wert bei den allermeisten Stichproben einschließt.

Nur bei einer Zufallsauswahl lässt sich berechnen, wie weit ein Ergebnis der Stichprobe vom wahren Wert in der Grundgesamtheit abweichen kann (Jacob, Heinz & Décieux 2019, S. 71). Die Größe der Stichprobe bestimmt dann, wie genau das Ergebnis ist. Repräsentativ macht sie es allein nicht (ebd., S. 71-72). Was eine Stichprobe repräsentativ macht und wie Sie das prüfen, erkläre ich ausführlich im Artikel Repräsentativität: Wann ist eine Umfrage repräsentativ?.

Was passiert, wenn die Stichprobengröße falsch gewählt wird?

Die Folgen einer falschen Wahl der Stichprobengröße sind denkbar einfach:

• Ist die Stichprobe zu klein, lassen sich die Parameter in der Grundgesamtheit nicht mit der gewünschten Präzision einschätzen: Die Fehlerspanne wird größer als geplant, das Konfidenzintervall breiter.
• Ist die Stichprobe zu groß, schadet das der Genauigkeit zwar nicht, die Kosten der Datenerhebung können aber höher ausfallen als nötig. Besonders spürbar wird das bei der Verwendung von Panels, bei denen jeder Proband mehrere Euro kostet.

Es gibt auch günstigere Wege, allerdings mit Nachteilen. Auf Probandenbörsen helfen sich vor allem Studierende gegenseitig, das kostet meist nur Zeit. Auch bezahlte Online-Stichproben, etwa über Crowdworking-Plattformen, kommen infrage. Kosten und Datenqualität hängen vom Anbieter, der Zielgruppe, der Fragebogenlänge und den Qualitätskontrollen ab. Prüfen Sie etwa auffällig kurze Bearbeitungszeiten und widersprüchliche Antworten. Beide Wege liefern keine Zufallsstichprobe, die Formel gilt dafür nur eingeschränkt (siehe Wenn weniger Antworten kommen als geplant). Und die berechnete Stichprobengröße gilt immer für die brauchbaren Antworten.

Der Ansatz der Fehlerspanne zur Berechnung der Stichprobengröße

Wann immer wir basierend auf einer Stichprobe Aussagen über die Grundgesamtheit treffen, machen wir einen Fehler. Dieser Fehler resultiert daraus, dass wir nicht die komplette Grundgesamtheit, sondern nur einen Teil davon befragen.

Sofern die Stichprobe zufällig gezogen wurde, lässt sich dieser Fehler mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung berechnen — und der Bereich angeben, in dem sich der wahre Wert in der Grundgesamtheit befindet.

Dieser Bereich heißt Konfidenzintervall und ergibt sich als „gemessener Wert ± Fehlerspanne".

Die Formel zur Berechnung der Fehlerspanne (für unendlich große Grundgesamtheit) sieht wie folgt aus:

Dabei ist:

E — Fehlerspanne (in Prozentpunkten, ausgedrückt als Dezimalzahl: 0,05 steht für ±5 Prozentpunkte).

z — der Wert der Standardnormalverteilung, der zum gewählten Vertrauensniveau gehört. Er gibt an, wie viele Standardfehler das Konfidenzintervall vom gemessenen Wert aus nach oben und nach unten reicht.

Der z-Wert gibt die Breite des Konfidenzintervalls vor — allerdings in Begriffen der Anzahl von Standardabweichungen der Standardnormalverteilung. Alle übrigen Parameter der Formel dienen nur dazu, den z-Wert in die verständlichere Einheit der maximal zulässigen prozentualen Abweichung zu übersetzen.

Z-Werte für verschiedene Vertrauensniveaus lassen sich mit Hilfe der sogenannten z-Tabelle ermitteln. In der Umfrageforschung werden typischerweise folgende Vertrauensniveaus bzw. z-Werte verwendet:

Die Werte sind gerundet. In vielen Tabellen finden Sie auch die kürzeren Werte 1,65 und 2,58.

Höheren Vertrauensniveaus entsprechen höhere z-Werte. Deshalb wird auch die Fehlerspanne für höhere Vertrauensniveaus größer.

π — Anteil des Merkmals in der Grundgesamtheit (in Prozent, ausgedrückt in Dezimalzahlen). Der π-Wert kann zwischen 0 % und 100 % variieren.

In der Regel ist der π-Wert im Vorfeld einer Umfrage nicht bekannt. In solchen Fällen setzt man ihn auf 50 % (0,5). Der Ausdruck π · (1 − π) hat sein Maximum bei π = 0,5 — was den höchsten E-Wert für alle möglichen π-Werte ergibt. Das gewährleistet, dass die Stichprobe selbst im ungünstigsten Fall groß genug ist, die geplante Fehlerspanne also nicht überschritten wird. Dass ein Konfidenzintervall den wahren Wert tatsächlich einschließt, kann allerdings kein Wert von π garantieren.

Werte von π, die von 0,5 nach oben oder unten abweichen, produzieren kleinere Fehlerspannen. Bei π = 0 und π = 1 ist die Fehlerspanne rechnerisch gleich 0. Für sehr kleine oder sehr große Anteile taugt die Formel allerdings nur, wenn n · π · (1 − π) größer als 9 ist (Schumann 2019, S. 193).

Wenn Sie also vor der Durchführung Ihrer Umfrage den Anteil des interessierenden Merkmals in der Grundgesamtheit kennen, können Sie die Fehlerspanne — und damit auch die erforderliche Stichprobengröße — reduzieren, und zwar umso stärker, je weiter der Anteil von 50 % entfernt liegt.

Beispiel. In Ihrer Studie untersuchen Sie, welcher Anteil der Schüler ein eigenes Laptop besitzt. Da darüber im Hinblick auf die definierte Grundgesamtheit noch nichts bekannt ist, nutzen Sie den Wert π = 0,5. Es stellt sich heraus, dass 67,5 % der Befragten diese Frage bejaht haben. Wiederholen Sie die Studie mit derselben Grundgesamtheit, nutzen Sie nun den Wert π = 0,675 — was den notwendigen Stichprobenumfang verringert.

Wie viel spart das? Bei ±5 Prozentpunkten und 95 % ergibt Formel (2) mit π = 0,675 ≈ 337,1, aufgerundet 338 statt 385 Antworten, also rund 12 % weniger. Bei π = 0,1 wären es nur noch 139.

n — Anzahl der befragten Personen, also Stichprobengröße.

Nachdem wir die Bedeutung aller Parameter geklärt haben, lässt sich die Formel umstellen — zur Berechnung der Stichprobengröße:

Die Vorgehensweise für die Berechnung der Stichprobengröße ist dann ganz einfach:

1. Wählen Sie die Fehlerspanne aus, die für die Umfrageergebnisse gelten soll.
2. Wählen Sie das Vertrauensniveau aus.
3. Ermitteln Sie den z-Wert, der dem gewählten Vertrauensniveau entspricht.
4. Ist der Anteil des interessierenden Merkmals in der Grundgesamtheit bekannt, nutzen Sie ihn als π. Andernfalls setzen Sie π = 0,5.
5. Setzen Sie die Werte in Formel (2) ein und berechnen Sie die Stichprobengröße. Runden Sie das Ergebnis immer auf die nächste ganze Zahl auf, auch wenn die Nachkommastelle klein ist: Aus 384,16 werden 385.

Damit haben Sie die Stichprobengröße für den Fall der unbekannten oder unendlich großen Grundgesamtheit ermittelt. Als „unendlich“ gilt eine Grundgesamtheit praktisch dann, wenn sie mindestens 100-mal so groß ist wie die Stichprobe (Schumann 2019, S. 169, nach Bortz u. a.). Für 385 Antworten sind das 38.500 Personen oder mehr.

Fehlerspanne und Konfidenzniveau: was Genauigkeit kostet

Die Tabelle zeigt die Stichprobengröße für einen Anteil bei π = 0,5, einer großen Grundgesamtheit und einfacher Zufallsauswahl, jeweils aufgerundet.

Genauigkeit kostet quadratisch. Wenn Sie die Fehlerspanne von ±10 auf ±5 Prozentpunkte halbieren, brauchen Sie viermal so viele Antworten: 385 statt 97. Auch der Schritt von 95 auf 99 % ist teuer, bei ±5 Prozentpunkten sind es 664 statt 385 Antworten. Üblich sind je nach Fragestellung 95 %, 99 % oder 99,9 % (Schumann 2019, S. 192). Für die meisten Umfragen ist 95 % ein guter Kompromiss.

Und was bedeuten die 95 %? Sie beschreiben das Verfahren: Bei sehr vielen Wiederholungen mit neuen Zufallsstichproben enthielten etwa 95 von 100 der Intervalle den wahren Wert. Ob das Intervall Ihrer konkreten Stichprobe dazugehört, wissen Sie nicht (Schumann 2019, S. 191).

Stichprobengröße für endliche Grundgesamtheit

In Fällen, in denen die notwendige Stichprobengröße vergleichbar mit dem Umfang der Grundgesamtheit wird, reichen bereits kleinere Stichproben für Repräsentativität aus.

Bei kleinen Grundgesamtheiten überschätzt die übliche Formel die Streuung, wenn die Stichprobe 10 % der Grundgesamtheit oder mehr umfasst. Deshalb kann die Fehlerspanne um den sogenannten Finite Population Correction (FPC) Faktor nach unten korrigiert werden:

wobei N für die Größe der Grundgesamtheit steht.

Die Formel zur Berechnung der Fehlerspanne nimmt damit folgende Form an:

Der Wert von FPC liegt zwischen 0 und 1.

Je näher die Stichprobengröße (n) am Umfang der Grundgesamtheit (N) liegt, desto kleiner wird FPC. Folglich fällt auch die Fehlerspanne kleiner aus.

Je kleiner der Stichprobenumfang im Vergleich zur Grundgesamtheit ist, desto näher liegt FPC bei 1 — der Faktor verliert an Bedeutung, und Formel (4) reduziert sich auf Formel (1).

Die Formel für die Stichprobengröße mit Berücksichtigung von FPC ergibt sich nach Auflösung von Formel (4) nach n:

Der Umfang der Stichprobe lässt sich analog zur vorherigen Vorgehensweise berechnen:

1. Ermitteln Sie die Werte für E, z, π und N.
2. Setzen Sie sie in Formel (5) ein.
3. Berechnen Sie die notwendige Stichprobengröße.

Alternativ — und besonders hilfreich bei händischer Berechnung — können Sie auch wie folgt vorgehen:

1. Berechnen Sie die Stichprobengröße für unendliche Grundgesamtheit nach Formel (2).
2. Wenn die berechnete Stichprobengröße 10 % der Grundgesamtheit oder mehr beträgt, berechnen Sie die korrigierte Stichprobengröße nach Formel (6). Darunter dürfen Sie die Korrektur ebenfalls anwenden, sie ändert das Ergebnis dann aber nur wenig:

n_corr ist der notwendige Stichprobenumfang.

Beispiel. Wir führen eine Mitarbeiterumfrage durch, deren Ergebnisse für das gesamte Unternehmen gelten sollen, bei einer Fehlerspanne von ±5 Prozentpunkten und einem Vertrauensniveau von 95 %. Nach Formel (2) berechnen wir die notwendige Stichprobengröße:

n = (1,96² · 0,5 · 0,5) / 0,05² ≈ 384,2, aufgerundet 385.

In unserem Unternehmen arbeiten jedoch nur 100 Mitarbeiter. Eine Korrektur ist also notwendig. Nach Formel (6):

n_corr = 384,16 / (1 + 383,16 / 100) ≈ 79,5, aufgerundet 80.

Im Endeffekt brauchen wir 80 ausgefüllte Fragebögen, damit die Ergebnisse mit einer Fehlerspanne von ±5 Prozentpunkten für alle Mitarbeiter unseres Unternehmens gelten. Bei 100 Beschäftigten heißt das: 80 von 100 müssen antworten.

Warum so oft 385? Was die Größe der Grundgesamtheit ausmacht

Für eine Stadt kommt fast dieselbe Zahl heraus wie für ein ganzes Land. Betrachten wir ein Beispiel. Wären in einem Glas alle Murmeln rot, würde eine einzige gezogene Murmel genügen, egal ob im Glas 50 oder 50.000 liegen (Malhotra & Birks 2007, S. 439). Sind rote und blaue gemischt, müssen Sie mehr ziehen. Wie viele, hängt von der gewünschten Genauigkeit ab, kaum von der Größe des Glases. Anders ist es nur bei einem kleinen Glas: Wer 80 von 100 Murmeln gezogen hat, weiß über die restlichen 20 schon viel. Genau das bildet der Korrekturfaktor für endliche Grundgesamtheiten ab, die FPC aus Formel (3).

Die Werte gelten für Anteile bei 95 %, π = 0,5 und einfacher Zufallsauswahl. Gerechnet ist mit Formel (6) aus dem ungerundeten Wert 384,16 (bei ±5 Prozentpunkten), aufgerundet erst am Ende. Mit 385 landen Sie manchmal eine Antwort höher. Bei kleinen Gruppen müssen Sie einen großen Teil befragen, bei 200 Personen schon zwei Drittel. Dann laden Sie am einfachsten gleich alle ein.

Von der Stichprobe zur Einladung: Rücklauf einplanen

Die Formel liefert die Zahl der auswertbaren Fragebögen, die Sie am Ende brauchen (Malhotra & Birks 2007, S. 443). Einladen müssen Sie mehr Personen, denn nicht alle antworten:

Einladungen = benötigte Antworten / erwartete Antwortquote, aufgerundet

Als Antwortquote zählt dabei der Anteil brauchbarer Antworten an allen Eingeladenen. Unzustellbare E-Mails, abgebrochene und aussortierte Fragebögen sind darin schon berücksichtigt.

Betrachten wir ein Beispiel. Ein Onlineshop wählt aus 5.000 Kundenadressen zufällig aus und möchte den Anteil der Zufriedenen auf ±5 Prozentpunkte genau kennen (95 %). Formel (2) ergibt 384,16, mit der Korrektur nach Formel (6) sind es 384,16 / (1 + 383,16 / 5.000) ≈ 356,8, aufgerundet 357 Antworten. Aus früheren Mailings weiß der Shop, dass etwa jede fünfte angeschriebene Person brauchbar antwortet. Bei einer Antwortquote von 20 % sind aus 357 / 0,2 = 1.785 Einladungen im Mittel 357 Antworten zu erwarten. Planen Sie eine Reserve ein, wenn Sie diese Fallzahl zuverlässig erreichen müssen.

Die erwartete Antwortquote nehmen Sie am besten aus früheren Befragungen derselben Gruppe, eine allgemeingültige Zahl für Online-Umfragen gibt es nicht.

Denken die Nichtantwortenden anders als die Antwortenden, ist das Ergebnis verzerrt, egal wie viele Sie einladen (Malhotra & Birks 2007, S. 443-444). Oft ist es klüger, weniger Personen einzuladen und dafür nachzufassen (Malhotra & Birks 2007, S. 85).

Übrigens, in QUESTIONSTAR sehen Sie während der Feldphase jederzeit, wie viele Personen den Fragebogen begonnen und wie viele ihn abgeschlossen haben. Wenn Sie per E-Mail einladen, gehen Erinnerungen nur an Empfänger, die noch nicht geantwortet haben. Mit Quoten legen Sie für einzelne Gruppen eine Höchstmenge fest. Eine fehlende Gruppe holen Quoten allerdings nicht herbei.

Teilgruppen: jede Gruppe braucht ihre eigene Fallzahl

Wollen Sie Ergebnisse auch je Abteilung berichten, muss die Stichprobe für jede Abteilung reichen (Jacob, Heinz & Décieux 2019, S. 72). Betrachten wir ein Beispiel: 1.000 Beschäftigte, davon 400 in der Produktion, 350 in der Verwaltung und 250 im Vertrieb. Für das Gesamtergebnis mit ±5 Prozentpunkten reichen 278 Antworten. Je Abteilung rechnen Sie mit ihrer eigenen Größe als Grundgesamtheit (Anteile, π = 0,5, 95 %, Zufallsauswahl innerhalb jeder Abteilung):

Für ±5 Prozentpunkte in jeder Abteilung brauchen Sie also 533 statt 278 Antworten. Wer sich in den Abteilungen mit ±10 Prozentpunkten zufriedengibt, kommt mit 224 aus. Für das Gesamtergebnis müssen die Abteilungen entsprechend ihrem Anteil an der Belegschaft gewichtet werden. Die Fehlerspanne hängt dann auch davon ab, wie sich die Antworten auf die Abteilungen verteilen. Mit den 224 Antworten aus der rechten Spalte beträgt die Fehlerspanne des gewichteten Gesamtergebnisses bei π = 0,5 etwa ±5,9 Prozentpunkte. Ein passender Plan wäre hier zum Beispiel: 112 Antworten aus der Produktion, 98 aus der Verwaltung und 70 aus dem Vertrieb, zusammen 280. Unter Zufallsauswahl innerhalb jeder Abteilung reicht das für etwa ±5 Prozentpunkte insgesamt und höchstens ±10 Prozentpunkte je Abteilung.

Die Faustregel von mindestens 20 bis 25 Fällen je Teilgruppe (Jacob, Heinz & Décieux 2019, S. 72) ist eine Untergrenze, keine Zielgröße: Mit 25 Antworten beträgt die Fehlerspanne ±19,6 Prozentpunkte. Ist eine wichtige Gruppe klein, laden Sie sie gezielt stärker ein und gewichten das Gesamtergebnis später zurück (ebd., S. 77).

Wenn weniger Antworten kommen als geplant: Fehlerspanne berechnen

Das kommt oft vor. Die Abgabe der Bachelorarbeit naht, und statt 385 sind 150 Fragebögen da. Die Ergebnisse sind damit nicht wertlos, nur weniger genau. Wie viel weniger, zeigt die Fehlerspanne. Sie berechnen sie mit Formel (1), nur andersherum: Sie setzen die tatsächliche Zahl der Antworten ein.

E = 1,96 · √(0,5 · 0,5 / 150) ≈ 0,080, also etwa ±8 Prozentpunkte.

Nach der Erhebung setzen Sie statt 0,5 den gemessenen Anteil ein (Malhotra & Birks 2007, S. 440-441): Bei 30 % sind es etwa ±7,3 Prozentpunkte. Bei kleiner Grundgesamtheit nehmen Sie Formel (4), bei unseren 100 Mitarbeitern ergeben 50 Antworten etwa ±9,8 Prozentpunkte.

Schreiben Sie die erreichte Zahl offen in Ihre Arbeit oder Ihren Bericht, etwa so: „Auswertbar sind 150 Fragebögen. Unter der Annahme einer einfachen Zufallsstichprobe beträgt die Fehlerspanne für Anteile bei 95 % und p = 0,5 etwa ±8 Prozentpunkte. Geplant waren ±5 Prozentpunkte.“

Haben Sie den Link offen verbreitet, etwa in sozialen Medien oder auf einer Probandenbörse, gilt diese Rechnung nicht. Die amerikanische Fachgesellschaft AAPOR hält eine klassische Fehlerspanne für solche Stichproben für irreführend. Beschreiben Sie dann, wie die Teilnehmenden gewonnen wurden, und berichten Sie Tendenzen. Formulierungen dafür finden Sie im Artikel Repräsentativität.

So rechnen Sie das mit Ihren Daten

QUESTIONSTAR zeigt Ihnen, wie viele Fragebögen abgeschlossen sind und wie sich die Antworten auf jede Frage verteilen. Für die Fehlerspanne exportieren Sie die Rohdaten (CSV, Excel, SPSS) und setzen Anzahl und Anteil in Formel (1) oder (4) ein. Verwenden Sie für jede Frage die Zahl der gültigen Antworten, die auch den Nenner des berechneten Anteils bildet. Bei fehlenden Antworten kann sie kleiner sein als die Zahl der abgeschlossenen Fragebögen. Oder Sie verbinden QUESTIONSTAR per MCP mit einem KI-Assistenten wie ChatGPT oder Claude und bitten ihn: „Berechne für Frage 5 die Fehlerspanne bei 95 % für jeden Antwortanteil, die Grundgesamtheit umfasst 100 Personen. Verwende je Frage die gültige Fallzahl und prüfe die Voraussetzungen der Formel.“ Gerechnet wird dann vom Assistenten, nicht von QUESTIONSTAR.

Als personenbezogen markierte Fragen werden bei aktivierter Schutzfunktion nicht an den Assistenten übertragen. Nicht entsprechend markierte Antworten, insbesondere Freitexte, können trotzdem personenbezogene Angaben enthalten. Prüfen Sie vor der Übertragung, welche Antworten an den KI-Anbieter gehen und ob dessen Vertragsbedingungen für Ihre Daten geeignet sind.

Was die Formel nicht leistet

Die Formel erfasst nur den Zufallsfehler, der entsteht, weil Sie nicht alle befragen. Missverständliche Fragen, ungenaue Antworten oder Ausfälle lassen sich meist nicht berechnen, und oft sind gerade sie der größere Teil des Gesamtfehlers (Malhotra & Birks 2007, S. 85).

Die Formeln gehen außerdem von einer einfachen Zufallsstichprobe aus (Malhotra & Birks 2007, S. 442): Jede Person der Grundgesamtheit hat dieselbe Chance, ausgewählt zu werden. Wenn Sie ganze Gruppen auswählen, etwa Schulklassen oder Filialen, brauchen Sie mehr Antworten als berechnet, weil Menschen in derselben Gruppe oft ähnlich antworten (ebd.). Wie viele mehr, hängt davon ab, wie ähnlich sie sich sind, und ist vorher meist unbekannt.

Für Mittelwerte, etwa durchschnittliche Ausgaben, lautet die entsprechende Formel n = z² · σ² / E². Dabei ist σ die Standardabweichung der Ausgaben und E die gewünschte Fehlerspanne in Euro (Malhotra & Birks 2007, S. 437-438).

Der Stichprobenrechner oben arbeitet mit den Formeln (2), (5) und (6).

Häufige Fragen zur Stichprobengröße

Wie berechnet man die Stichprobengröße?

Sie legen Fehlerspanne und Konfidenzniveau fest, setzen den erwarteten Anteil ein (unbekannt: 0,5) und rechnen n = z² · π · (1 − π) / E². Ist die Grundgesamtheit klein, korrigieren Sie das Ergebnis mit Formel (6). Am Ende runden Sie immer auf.

Wie viele Teilnehmer brauche ich für meine Bachelorarbeit?

Eine feste Zahl gibt es nicht. Bei Zufallsauswahl, ±5 Prozentpunkten und 95 % sind es 385 Antworten, bei kleinen Grundgesamtheiten weniger. Jacob, Heinz und Décieux (2019, S. 73) nennen 20 Befragte als absolutes Minimum und empfehlen, mindestens 100 anzustreben, damit typische Strukturen und nicht Ausreißer das Bild bestimmen. Das ist eine Faustregel für Zufallsstichproben. Bei einer Gelegenheitsstichprobe, etwa über Probandenbörsen oder soziale Medien, ist sie ein Orientierungswert, keine Garantie für übertragbare Ergebnisse. Stimmen Sie die Zahl mit Ihrer Betreuung ab. Mehr in Wie schreibe ich meine Abschlussarbeit.

Reichen 100 Antworten?

Für einen Überblick oft ja, für genaue Zahlen eher nicht. Mit 100 Antworten aus einer Zufallsstichprobe beträgt die Fehlerspanne bei 95 % bis zu ±9,8 Prozentpunkte. Bei 150 Beschäftigten ergeben 100 Antworten dagegen etwa ±5,7 Prozentpunkte.

Warum kommt so oft 385 heraus?

Weil fast alle mit 95 %, ±5 Prozentpunkten und π = 0,5 rechnen. Die Größe der Grundgesamtheit spielt ab etwa 10.000 Personen kaum noch eine Rolle, siehe das Beispiel mit dem Murmelglas.

Was bedeutet eine Fehlerspanne von ±5 %?

Gemeint sind ±5 Prozentpunkte. Messen Sie 60 % Zustimmung, liegt das Konfidenzintervall zwischen 55 und 65 %. „5 Prozent von 60 %“, also ±3 Prozentpunkte, wäre viel strenger. Bei 95 % Konfidenzniveau, einem Planungswert π = 0,6 und großer Grundgesamtheit wären dafür 1.025 statt 369 Antworten erforderlich (Malhotra & Birks 2007, S. 438-439).

Muss ich die Grundgesamtheit kennen?

Ihre Größe nicht, dann rechnen Sie vorsichtig mit Formel (2). Kennen sollten Sie aber, wer dazugehört, sonst können Sie nicht zufällig auswählen.

Was tun bei geringem Rücklauf?

Rechnen Sie zuerst aus, welche Fehlerspanne Ihre tatsächlichen Antworten ergeben, wie im Abschnitt Wenn weniger Antworten kommen als geplant gezeigt. Wenn noch Zeit ist, erinnern Sie diejenigen, die noch nicht geantwortet haben, und suchen Sie weitere Wege zu Ihrer Zielgruppe. Fehlt eine ganze Gruppe, helfen zusätzliche Antworten aus den anderen nicht.

Quellen

Malhotra, N. K. & Birks, D. F. (2007): Marketing Research. An Applied Approach, 3. europäische Auflage. Harlow: Pearson. S. 85, S. 433-444.

Schumann, S. (2019): Repräsentative Umfrage. Praxisorientierte Einführung in empirische Methoden und statistische Analyseverfahren, 7. Auflage. Berlin/Boston: De Gruyter. S. 169, S. 191-193.

Jacob, R., Heinz, A. & Décieux, J. P. (2019): Umfrage. Einführung in die Methoden der Umfrageforschung, 4. Auflage. Berlin/Boston: De Gruyter. S. 71-73, S. 77.

Marx, P.: Grundlagen der Umfrageforschung (Foliensatz, 2026), Kapitel 4 „Stichproben“, Folien 136-153.

AAPOR (o. J.): Margin of Sampling Error/Credibility Interval. Stellungnahme der American Association for Public Opinion Research, aapor.org.

Ich hoffe, die Formel hat ihren Schrecken verloren.

Ich wünsche Ihnen viel Erfolg mit Ihrer Umfrage!

Dr. Paul Marx